Euclides (Öklit) geometrisi, bildiğimiz doğrular, paraleller, üçgenler, dörtgenler geometrisidir; düzlem geometridir. Bu geometri, 19. yüzyıla gelinceye kadar, insanoğlunun erişebileceği biricik geometrik doğruluk olarak görüldü. Yani iki bin yıldan uzun bir süre onun alternatifi düşünülemedi. Burada Euclides’in büyük çalışması anlatılacak ve kısaca Euclides dışı geometrilerin doğuşuna değinilecektir.
Babilliler ve Mısırlılar da dik üçgenlerle ilgili bazı şeyleri biliyorlardı. Babilliler, bu konuda bazı tablolar bile hazırlamışlardı. Ancak Eski Yunandaki Pythagorasçılara (Pisagorcular) kadar hiç kimse bu sayısal ilişkilerde kanıtlanacak (ispatlanacak) bir teorem görmemişti.
Pythagorasçı kanıtlamalar, Euclides’in MÖ 300’lerdeki derlemesine kadar sürmüştür. Yine de ilk Pisagorcular, matematiği doğa felsefesine soktukları için, matematiğin yüzünü pratik aritmetikten teorik aritmetik ve geometriye döndürdüklerinden ve bilgi edinmeyi haklı göstermek için ispatı (kanıtlamayı) bir araç ve model olarak geliştirdikleri için dikkat çekicidirler.
Eski Yunanlılar için matematik, öncelikle geometri demekti. Gerçekten onların matematiksel düşünceye katkıları, en başta geometride kendini gösterir. Euclidessistemi bunun somut örneğidir. Euclides (MÖ 325-265) ve onu izleyen Archimedes (MÖ 287-212) döneminde matematik artık hemen tümüyle geometri demekti.
Yunan öncesi dönemde matematik sınama-yanılma yöntemine dayalıydı ve sayma bilgisi, empirik bilgi düzeyinde kalmıştı. Babilliler gibi Mısırlılar da daha çok yaşamın pratik ihtiyaçlarından kaynaklanan ölçme ve hesaplama işlemlerini geliştirme ve kullanma çabası içindeydiler. Yunanlıların her iki kültür çevresinin birikimlerinden önemli ölçülerde yararlandıklarını biliyoruz. Ne var ki onlar aldıklarıyla yetinmediler. Bir kez Yunanlıların matematikteki ilgisi felsefede olduğu gibi, pratik olmaktan çok teorik nitelikte idi: Bilgide kesinlik arıyorlardı; açıklamak ve anlamak başlıca kaygılarıydı. Geometriyle işe yaradığı için değil, bilme öğrenme ve anlama tutkularını doyurmak için uğraşıyorlardı. Onlar için geometri uzaysal ilişkilerin bilimiydi–üstelik diğer alanların elvermediği sıkı düşünme ve ispatlama yöntemini içeren bir bilim! Pythagoras ve ondan esinlenen Platon’un gözünde geometrinin önemi, entelektüel bir disiplin olmasındaydı. Soyut ve katıksız niteliğiyle matematik, özellikle ispata dayanan geometri, metafizik düşünce gibi insan kafasının, değeri kendi içinde olan ürünüydü.
Euclides’in Elementler (Stoikheia =Geometrinin Elemanları) diye bilinen ünlü eseri (MÖ 300) geometride doruğa erişen Yunan düşüncesinin anıtsal bir örneğidir. Yüzyıllar boyunca insan düşüncesinin “yetkin” bir ürünü olarak etkisini gösteren bu yapıtta, daha önceki dönemlerin buluş ve birikimlerinin mantıksal bir düzenlemesini bulmaktayız. Elementler, 19. yüzyıl sonuna kadar tüm yüksek öğrenim kurumlarında okutulan rakipsiz bir ders kitabı olmuştur. Daha da önemlisi, Euclides’in geometride ortaya koyduğu aksiyomatik sistemin tüm diğer bilimler için, felsefede ve doğa bilimlerinde, özenilen bir model oluşturmuş olmasıdır. Proclus’un belirttiğine göre Euclides, Elementler’i MÖ 300 dolayında İskenderiye’de yazmıştır. Ancak Ptolemaiosların desteğiyle İskenderiye’ye taşınmadan önce muhtemelen Atina’daki Akademi’de çalışmıştı. Eğitimini Atina’da Platon’un akademisinde tamamlamış olduğu sanılan Euclides, ünlü İskenderiye Üniversitesi’nde matematik öğretmeniydi.
Elementler, geometriye hiçbir düşünce alanında örneği gösterilemeyen mantıksal bir bütünlük kazandırmıştır. Kendisinden önceki dönemlerde ortaya konan, değişik biçimlerde ispatları verilen önermeleri aksiyom-teorem ilişkisi içinde sunmaktadır. Başka bir deyişle, öncül diye seçtiği az sayıda aksiyom, postülat ve tanımdan, dedüktif (tümden gelim) çıkarımla, geriye kalan tüm önermelerin ispatını vermektedir. Aksiyomatik sistemde ispatlanan önermeler sistemin teoremlerini oluşturur. Elementler’in olağanüstü etkisi geometriyi bu biçimde sunma başarısıyla açıklanabilir.
Elementler’i oluşturan 13 kitapta 465 önerme vardır. Çoğu kez sanıldığının tersine, bu önermelerin önemli bölümü doğrudan geometriye değil, sayılara ve cebirsel geometriye ilişkindir. İlk kitapta, kimi açıklamalarla birlikte, çakışma, parallel çizgiler ve doğrusal şekillere ait teoremler yer alır. İkinci kitap, hemen tümüyle cebirsel geometriye; üçüncü kitap daireye; dördüncü kitap düzgün poligonlar oluşturmaya ayrılmış, beşinci ve altıncı kitaplarda ise Eudoxus’un oranlar teorisi, teorinin geometriye uygulanması ele alınmıştır. 102 önermeyi içeren yedinci, sekizinci ve dokuzuncu kitaplarda basit sayı teorisine; onuncu kitapta irrasyonel (örneğin kök 2) sayılara yer verildiğini görmekteyiz. Geriye kalan üç kitap ise hacimlerle ilgili Günümüzde orta dereceli okullarda okutulan ders kitaplarına, düzlem ve hakim konuları bakımından, Euclides’in 1,3,4,6,11 ve 12. Kitaplarının birer özeti gözüyle bakabiliriz.
Elementler, içerik yönünden kapsamlı olmanın yanında yöntem açısından büyük önem taşımaktadır. Aristoteles (MÖ 384-322), Euclides’in aksiyomatik yöntemini şöyle dile getirmektedir:
“İspata yönelik her bilim, konusunun ilkelerini oluşturan varsayımlarla işe başlar. Bu varsayımların bir bölümü tüm bilim alanları için ortak niteliktedir (Aristoteles bunlara ‘aksiyom’ adını vermektedir); diğerleri her alanın kendi konusuna özgü ilkelerdir (Aristo bunlara ‘postülat’ adını vermektedir). Postülatlar, inceleme konusu nesneleri, bunlara ilişkin özellik ve ilişkileri belirleyen önermelerdir. Örneğin geometride ‘nokta’, ‘çizgi’ gibi nesneler varsayılmakta, ‘üçgen’, ‘daire’ gibi tanımlanan diğer nesneler, varsayılan nesnelere dayanılarak inşa edilmektedir. Örneğin, tüm dik açılar eşittir” postülatı, bir küme nesnenin belli bir özelliğini dile getirmektedir.”
Gerçekten ileri bir anlayışın ifadesi olan bu çözümlemeye karşın Aristoteles’in temel ilkeler saydığı aksiyom, postülat ve tanımlar üzerinde tam bir açıklık içinde olduğu söyelenemez. Ancak değişik kaynaklar yoklandığında şu üç noktada genel bir anlayış birliğine ulaşıldığı görülmektedir:
1. Aksiyom, tüm alanlar için geçerli, doğruluğu apaçık bir önermedir. “Aynı şeye eşit olan şeyler birbirine eşittir” gibi.
2. Postülat, belli bir konu ya da inceleme alanına özgü, doğruluğu apaçık bir önermedir.” Bir çizgi dışındaki herhangi bir noktadan o çizgiye bir ve yalnız bir parallel çizgi vardır” gibi.
3. Aksiyom, doğruluğu zorunlu bir önermedir; oysa postülat için zorunluluk söz konusu değildir.
Kısaca söylemek gerekirse, Yunan matematik anlayışında yetkin bir bilim (örneğin geometri), tüm önermelerini mantıksal bir düzenleme içinde toplayabilen bir çalışmadır; öyle ki birkaç temel ilkeden mantıksal çıkarımla tüm diğer önermelerine ulaşılabilsin. Elementler’de temel ilkeleri aksiyom, postülat ve tanımlar oluşturmaktadır. Tanımlar önemli sayılan terimlerin anlamlarını belirlemeye yöneliktir. Çıkarımların öncüllerini sağlayan aksiyom ve postülatlar sistemin doğruluğu apaçık sayılan ilkelerini oluşturur. İspatlanan önermeler ise sistemin “teoremleri” diye bilinir.
“Elementler”in başlangıç bölümünde temel ilkeleri oluşturan önermelerin bir listesini bulmaktayız. Aşağıdaki örnekler, bir fikir vermek düşüncesiyle seçilmiştir:
Tanımlar:
Nokta: Büyüklüğü (ya da parçası) olmayan bir nesne.
Doğru: Genişliği olmayan uzunluk.
Yüzey: Yalnızca eni ve boyu olan nesne.
Düzlem: Üzerindeki doğrularla parallel giden yüzey.
….
Postülatlar
1. Bir doğru herhangi bir noktadan başka bir noktaya çizilebilir.
2. Bir doğru parçası doğrusal bir çizgi üzerinde sürekli uzatılabilir.
3. Bir daireyi herhangi bir merkez ve uzaklıkla belirleyebiliriz.
4. Tüm dik açılar birbirine eşittir.
5. İki doğru üzerine düşen bir doğru çizgi, aynı yandaki iç açıları birlikte iki dik açıdan az yapıyorsa, iki doğru çizgi, iç açıların bulunduğu yanda yeterince uzatıldığında birleşir.
6. Bir üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.
7. Bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnızca bir tek paralel çizilebilir.
Aksiyomlar( Genel Doğrular ):
1. Aynı şeye eşit olan şeyler birbirine eşittir.
2. Eşit olan şeylere eşit şeyler eklendiğinde sonuçlar eşit olur.
3. Eşit olan şeylerden eşit şeyler çıkarıldığında kalanlar eşittir.
4. Birbiriyle çakışan şeyler birbirine eşittir.
5. Bütün, parçasından büyüktür.
Aksiyomlar, doğruluğu tartışılmadan kabul edilen önermelerdir. Bu, aksiyom, doğrudur demek değil. Kabul edilidiğinde doğru diye baz alınan bir önermedir. Geometrinin “aksiyomlara bağlanması” insanın düşünce tarihinde bir devrimdir. Ali Nesin “Nasıl ki ‘tekerleğin icadı’ insanlık tarihinde (biraz simgesel de olsa) bir dönüm noktası addedilirse, bu da (Euclides geometrisi) öyledir” demektedir.
Euclides’in bu belirlemeleri, kendisinden bir kuşak önce yaşamış olan Aristoteles’in çözümlemesine tümüyle uygun düşmektedir. Aristoteles ayrıca en az sayıda varsayımlara başvurularak yapılan ispatın yeğlenmesi gereğinden söz ediyordu. Euclides’in bu düşünceye de bağlı kaldığını görmekteyiz.
Euclides’in verdiği tanımların tümü kendisine ait değildir ve bazıları anlam yönünden açık değildir. Postulatlardan beşincisi daha baştan kuşkuyla karşılanmış, yüzyıllar boyu da tartışma konusu olmuştur.
Dedüktif bir sistem birtakım varsayımların konmasını gerektirir. “Elementler” de bu koşul 5 postulat ve 5 aksiyom konarak yerine getirilmiştir. Postulatların geometriye ilişkin olması nokta, doğru,üçgen, dik açı, daire gibi terimlerden ileri gelmektedir. Euclides bu terimleri ne anlamda kullandığını göstermek için tanımlar vermektedir. Her tanımda adı geçen nesne ya da nesnelerin ne olduğunu, nasıl ayırt edildiğini öğrenmekteyiz; ancak bir tanım bize sözü geçen nesnenin varo lup olmadığını, ona ilişkin ne tür bir varsayım yapabileceğimizi bildirmez. Bu tür işlevler postulatlara bırakılmıştır.
Euclides Sisteminde Yetersizlikler
Bertrand Russell, (1872-1970, Nobel Edebiyat 1950) Batı Felsefesi Tarihi’nde Grek matematiğine değinirken şöyle demektedir:
“Elementler”e , yazılmış en büyük kitap gözüyle bakılsa yeridir. Bu kitap gerçekten Yunan zekasının en yetkin anıtlarından biridir. Kitabın kuşkusuz Yunanlılara özgü eksiklikleri yok değildir: Dayandığı yöntem salt dedüktif niteliktedir; üstelik öncüllerini oluşturan varsayımları hiçbir şekilde yoklama olanağı yoktur, bunlar kuşku götürmez apaçık doğrular olarak konmuştur. Oysa 19. yüzyılda ortaya çıkan Euclides-dışı geometriler bunların hiç değilse bir bölümünün yanlış olabileceğini, bunun da ancak gözleme başvurularak belirlenebileceğini göstermiştir.”
Fakat Euclides geometrisi, ne bir yaklaştırım, ne de insan yapısı bir şeydi. Bu, dünyanın mutlak bir tanımıydı. Euclides geometrisi eksiksiz sanıldı bin yıllarca. Matematiksel yöntemin oluşma sürecinde olduğu bir dönemde ortaya konan Elementler’in tümüyle kusursuz, yetkin bir yapıt olması beklenemezdi kuşkusuz. Nitekim daha sonraki çalışmalar sistemde birtakım yetersizlikler olduğunu göstermiştir.
Bu yetersizliklerden belki de en önemlisi, kimi varsayımların üstü örtük olarak kullanılmış olmasıdır. Bu Euclides’e özgü bir kusur da değildir. Daha sonra oluşturulan sistemlerin pek çoğunda aynı kusura rastlamaktayız. Aksiyomatik bir sistem “aksiyom” ya da “postülat” adı altında konan tüm varsayımların daha baştan belirtik olarak konmasını gerektirir. Ne var ki sistem kurucusu çoğu kez, konusuna ilişkin geniş bilgisinin etkisinde., farkında olmaksızın, kimi varsayımlardan yararlanma yoluna gidebilir. Bu durum hem başlangıç ilkelerinin yetersizliğini gösterir, hem de sistemde olası bazı çelişkilerin ortaya çıkabileceği sakıncasını taşır. Üstü örtük kalan varsayımların tuturlılığını denetlemek çoğu kez olanaksızdır.
Eclides verdiği ispatların bir bölümünde üstü örtük varsayımlara başvurduktan başka, daha önce de değindiğimiz gibi, birtakım gereksiz tanımlara da yer vermektedir. Ayrıca eserde önermeler, postulat ve teorem olarak ayrılmasına karşın, terimler arasında benzer bir ayırım yoktur.
Euclides geometrisi, mimarlara ve harita uzmanlarına yardım etmekten fazlasını yapmıştır. Aksiyomatik yöntem denilen bir akıl yürütme yöntemi (uslamlama yolu) getirmiştir. Bu yöntemde bir dizi aşikar aksiyomdan yola çıkılarak bir takım gerçekler elde edilmekteydi. İlahiyat ve felsefe de bu “aksiyomatik yöntemi taklit ederek onun genel düzenini izlemiştir. 17. yüzyıldan bir örnek verelim. Hollandalı filozof BaruchSpinoza’nın (1632-1677) eserlerinde olduğu felsefi önermeler bile Euclides’in çalışmasındaki tanımlar, aksiyomlar, teoriler ve ispatlar gibi düzenleniyordu. 18. yüzyılın büyük filozofu ImmanuelKant (1724-1804), Euclides geometrisinden başka bir geometriye olanak tanımık şöyle dursun, öyle bir geometrinin tasavvur bile edilemeyeceğini ileri sürmüştü. Bunlar, aklın değişmez ve zorunlu yasaları, uzaysal ilişkileri saptayan biricik doğrular gibi görülüyordu. Her dönemde büyük bir hayranlık yaratan Euclides geometrisindeki ispatların 2000 yıl sonra bir takım ciddi kusurlar taşıdığı görülmüştür.
Şekildeki ağaç oymayı iyice bir inceleyin bakalım.
M.C. Escher (wood-engraving printed from four blocks, 1961)
http://www.mcescher.com
Geometri Ne İşe Yarar?
Aslında matematiğin insan zihninin gelişimine ne kadar büyük bir katkı yaptığını bilimin içindeki insanlar çok iyi bilir ve üstelik bunu, herkesin kolayca kabul edeceğini sanır.
İngiliz matematikçi ve filozof BertrandRussell (1872-1970), Bat Felsefesi Tarihi’nde (1961), Euclides ve Elementler hakkında şöyle der: “Euclides’te, Platon’un zihinlere yerleştirdiği pratik yararı küçümseme söz konusu. Öğrencilerinden biri, bir matematik ispatı dinledikten sonra Euclides’e, geometri öğrenmekle ne kazanacağını sormuş. Bunun üzerine Öklit bir köle çağırıp “şu gence üç beş kuruş ver, öğrendiklerinden kazanç sağlaması gerekiyor herhalde” demiş. Bununla birlikte pratiği küçümsemenin yerinde olduğu pragmatik açıdan anlaşıldı. Grekler zamanında kimse, Pergeli Apolloniosu’un (İÖ 220-190) uğraştığı konik kesimlerin herhangibir yararı olacağını sanmıyordu. Sonra 17. yüzyılda Galileo, mermilerin parabol; Keplerde gezegenlerin elips çizdiklerini ortaya çıkardı. Greklerin salt kuram sevgisiyle yaptığı işi, birden savaş sanatının ve gökbilimin anahtarı oldu. Euclides’in değerini Romalılar pek anlamadılar; ama İslam dünyası anladı. Halife Harun Reşit zamanında (yaklaşık 800’de) Ptolemaios’un Almagest kitabının yanısıraElementler de Arapça’ya çevrildi. Elimizde bulunan ilk Latince çeviri Bath’lı Athelhardus’un İS 1120 yılında Arapça’dan yaptığı çeviridir. Bu zamandan başlayarak Batı’da geometrinin ele alınması işi yavaş yavaş canlandı. Ancak Rönesans sonuna değin bu alanda hiçbir önemli bir adım atılmadı.”
İslam dünyası 8. ve 12. yüzyıllar arasında matematiğin ve genel olarak bilimin koruyucusu ve geliştiricisi oldu; ama 17. yüzyılda Batı dünyasında gerçekleşen bilimsel devrimi ıskaladı. Bu da İslam dünyasında geçmişin geleceği belirleyeceği yanılgısına yol açtı.
Fiziksel Gerçeklik
Euclides dışı geometrilerin varlığı, 19. yüzyılda keşfedildi. Bunu keşfeden dört matematikçi şunlardır: C. F. Gauss (1777-1855), N. Lobachevsky (1792-1856), J. Bolyai (1802-1860) ve B. Riemann (1826-1866). Bu keşif, Dünya’nın düz değil de yuvarlak olduğunun akıl düzeyindeki keşfidir. Euclides geometrisinin mutlak doğru olmadığı anlaşıldı.
Davit Hilbert, 1899’da Geometri’nin Temelleri (Grundlagen der Geometri) adlı yapıtında Euclides’in yapmak istediğiini (bugünkü anlamda) çok daha matematiksel olarak yapmıştır.
Euclides geometrisi düzlemde geçerlidir ve yerel olarak iyi bir yaklaştırmadır. Dünya o denli büyüktür ki, küçük uzaklıkları ölçerken bu Dünya’nın eğriliği göze çarpmaz.Örneğin önümüzdeki kâğıt düzdür ve orada çizeceğimiz üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir. Sonra matematikçiler Euclides-dışı geometrileri keşfettiler. Paralel doğrular, 
düz bir yüzey üzerinde kesişmez. Küresel bir yüzeyde bütün doğrular kesişebilir. Hiperbolik bir yüzeyde kesişmeyen birçok doğru bulunur. Euclides geometrisini, bir duvar ustası kullanabilir; ama okyanusta giden bir denizci kullanamaz. Euclides-dışı geometrilerin keşfedilmesi, aslında bin yıllara dayansa da bazı sistemlerin biricik olmadığını gösterdi. Euclides geometrisi, kendi içinde tutarlıdır ve olanaklı geometri sistemlerinden sadece biridir. Yukarıdaki şekilde görüldüğü gibi Dünya üzerindeki bir üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceden büyüktür; ama bir harita üzerindeki üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.
Newton fiziğinin klasik dünya görüşü, düzgün üç boyutlu Euclides uzayıydı. Einstein’ın kullandığı Riemann’ın eliptik geometrisine dayanan genel göreliliğinde ise dört boyutlu uzay-zaman birlikteliği söz konusudur.Newton fiziğinde uzay ve zaman birbirinden bağımsız, ayrıca bunlar edilgen nesneler durumunda iken Einstein modelinde uzay-zaman birleşik ve büyük kütleler çevresinde eğrilmiştir ve hareketi bu eğirlik belirler. Euclides geometrisinin iki bin yıl, mümkün tek geometrik yaklaşım olarak kalabilmesi çok dikkat çekicidir. Fakat bunca zaman sonra olsa da Euclides geometrisinin olası geometrik yaklaşımlardan biri olduğunun anlaşılması çok daha çarpıcıdır ve buluşlar çağının hiç de sona ermediğinin göstergelerinden biridir.
Kaynaklar
1. Ali Nesin, Öklit Geometrisinin Belitleri (postülatları), Matematik Dünyası 2004
2. Ali Ülger, Matematiğin Kısa Bir Tarihi, Üniversite ve Toplum,Cilt 5, Sayı 1,Ocak 2005
3. Bertrand Russell, Batı Felsefesi Tarihi (1961), Çev: Muammer Sencer, Say Yay 1997
4. Cemal Yıldırım, Bilim Tarihi, Remzi Kitabevi 1991
5. Cemal Yıldırım, Matematiksel Düşünme, Remzi Kitabevi 2004
6. James E. McClellan III ve Harold Dorn, Dünya Tarihinde Bilim ve Teknoloji 1999 Çeviren: Haydar Yalçın, Arkadaş Yayınları 2006
7. John D. Barrow, Olanaksızlık (1998), Çev: Nermin Arık, Sabancı Üni Yay 2002
Ramazan Karakale (atomevren.com RK)
Yorum Ekle